Tabela verdade
Tabela-verdade, tabela de verdade ou tabela veritativa é um tipo de tabela matemática usada em Lógica para determinar se uma fórmula é válida ou se um sequente é correto.
As tabelas-verdade derivam do trabalho de Gottlob Frege, Charles Peirce e outros da década de 1880, e tomaram a forma atual em 1922 através dos trabalhos de Emil Post e Ludwig Wittgenstein. A publicação do Tractatu Logico-Philosophicus, de Wittgenstein, utilizava as mesmas para classificar funções veritativas em uma série. A vasta influência de seu trabalho levou, então, à difusão do uso de tabelas-verdade.
Como construir uma tabela de verdade
- Uma tabela de verdade consiste em:
- 1º) Uma linha em que estão contidos todas as subfórmulas de uma fórmula. Por exemplo, a fórmula ¬((A∧B)→C) tem o seguinte conjuntos de subfórmulas:
{ ¬((A∧B)→C) , (A∧B)→C , A∧B , A , B , C}
- 2º) l linhas em que estão todos possíveis valores que os termos podem receber e os valores cujas as fórmulas moleculares tem dados os valores destes termos.
- O número destas linhas é l = nt , sendo n o número de valores que o sistema permite (sempre 2 no caso do Cálculo Proposicional Clássico) e t o número de termos que a fórmula contém. Assim, se uma fórmula contém 2 termos, o número de linhas que expressam a permutações entre estes será 4: um caso de ambos termos serem verdadeiros (V V), dois casos de apenas um dos termos ser verdadeiro (V F , F V) e um caso no qual ambos termos são falsos (F F). Se a fórmula contiver 3 termos, o número de linhas que expressam a permutações entre estes será 8: um caso de todos termos serem verdadeiros (V V V), três casos de apenas dois termos serem verdadeiros (V V F , V F V , F V V), três casos de apenas um dos termos ser verdadeiro (V F F , F V F , F F V) e um caso no qual todos termos são falsos (F F F).
Tabelas das Principais Operações do Cálculo Proposicional
Negação
A
~A
V
F
F
V
A negação da proposição "A" é a proposição "~A", de maneira que se "A" é verdade então "~A" é falsa, e vice-versa.
Conjunção (E)
A conjunção é verdadeira se e somente se os operandos são verdadeiros
A
B
A^B
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
Disjunção (OU)
A conjunção é falsa se, e somente se ambos os operandos forem falsos
A
B
AvB
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
Condicional (Se... Então) [Implicação]
A conjunção é falsa se, e somente se, o primeiro operando é verdadeiro e o segundo operando é falso
A
B
A→B
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
Bicondicional (Se e somente se) [Equivalência]
A conjunção é verdadeira se, e somente se, ambos operandos forem falsos ou ambos verdadeiros
A
B
A↔B
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
Disjunção Exclusiva (Ou... ou XOR)
A conjunção é verdadeira se, e somente se, apenas um dos operandos for verdadeiro
A
B
A∨B
V
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
F
Adaga de Quine (NOR)
A conjunção é verdadeira se e somente se os operandos são falsos
A
B
A∨B
A↓B
V
V
V
F
V
F
V
F
F
V
V
F
F
F
F
V
Como usar tabelas para verificar a validade de argumentos
- Verifique se a conclusão nunca é falsa quando as premissas são verdadeiros. Em caso positivo, o argumento é válido. Em caso negativo, é inválido.
Alguns argumentos válidos
- Modus ponens
A
B
A→B
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
- Modus tollens
A
B
¬A
¬B
A→B
V
V
F
F
V
V
F
F
V
F
F
V
V
F
V
F
F
V
V
V
- Silogismo Hipotético
A
B
C
A→B
B→C
A→C
V
V
V
V
V
V
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F
V
F
F
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V
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F
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F
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F
V
F
F
V
V
V
V
F
F
F
V
V
V
Algumas falácias
- Afirmação do conseqüente
- Se A, então B. (A→B)
- B.
- Logo, A.
A
B
A→B
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
- Comutação dos Condicionais
- A implica B. (A→B)
- Logo, B implica A. (B→A)
A
B
A→B
B→A
V
V
V
V
V
F
F
V
F
V
V
F
F
F
V
V
Como usar tabelas para verificar a equivalência de fórmulas
- (A∧B) ≡ ¬(B→¬A) ≡ ¬(¬A∨¬B) ≡ (¬A↓¬B)
A
B
¬A
¬B
A∧B
B→¬A
¬(B→¬A)
(¬A↓¬B)
V
V
F
F
V
F
V
V
V
F
F
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F
F
F
V
V
F
F
V
F
F
F
F
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V
F
V
F
F
(A→B) ≡ ¬(¬A∧B) ≡ (¬A∨B) ≡ ¬(¬A↓B)
A
B
¬A
¬B
A→B
A∧¬B
¬(¬A∧B)
¬A∨B
V
V
F
F
V
F
V
V
V
F
F
V
F
V
F
F
F
V
V
F
V
F
V
V
F
F
V
V
V
F
V
V
(A∨B) ≡ ¬(¬A∧¬B) ≡ (¬A→B) ≡ ¬(A↓B)
A
B
¬A
¬B
A∨B
¬A∧¬B
¬(¬A∧¬B)
¬A→B
V
V
F
F
V
F
V
V
V
F
F
V
V
F
V
V
F
V
V
F
V
F
V
V
F
F
V
V
F
V
F
F
Tabela-verdade, tabela de verdade ou tabela veritativa é um tipo de tabela matemática usada em Lógica para determinar se uma fórmula é válida ou se um sequente é correto.
As tabelas-verdade derivam do trabalho de Gottlob Frege, Charles Peirce e outros da década de 1880, e tomaram a forma atual em 1922 através dos trabalhos de Emil Post e Ludwig Wittgenstein. A publicação do Tractatu Logico-Philosophicus, de Wittgenstein, utilizava as mesmas para classificar funções veritativas em uma série. A vasta influência de seu trabalho levou, então, à difusão do uso de tabelas-verdade.
Como construir uma tabela de verdade
- Uma tabela de verdade consiste em:
- 1º) Uma linha em que estão contidos todas as subfórmulas de uma fórmula. Por exemplo, a fórmula ¬((A∧B)→C) tem o seguinte conjuntos de subfórmulas:
{ ¬((A∧B)→C) , (A∧B)→C , A∧B , A , B , C}
- 2º) l linhas em que estão todos possíveis valores que os termos podem receber e os valores cujas as fórmulas moleculares tem dados os valores destes termos.
- O número destas linhas é l = nt , sendo n o número de valores que o sistema permite (sempre 2 no caso do Cálculo Proposicional Clássico) e t o número de termos que a fórmula contém. Assim, se uma fórmula contém 2 termos, o número de linhas que expressam a permutações entre estes será 4: um caso de ambos termos serem verdadeiros (V V), dois casos de apenas um dos termos ser verdadeiro (V F , F V) e um caso no qual ambos termos são falsos (F F). Se a fórmula contiver 3 termos, o número de linhas que expressam a permutações entre estes será 8: um caso de todos termos serem verdadeiros (V V V), três casos de apenas dois termos serem verdadeiros (V V F , V F V , F V V), três casos de apenas um dos termos ser verdadeiro (V F F , F V F , F F V) e um caso no qual todos termos são falsos (F F F).
Tabelas das Principais Operações do Cálculo Proposicional
Negação
| A | ~A |
| V | F |
| F | V |
A negação da proposição "A" é a proposição "~A", de maneira que se "A" é verdade então "~A" é falsa, e vice-versa.
Conjunção (E)
A conjunção é verdadeira se e somente se os operandos são verdadeiros
| A | B | A^B |
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | F |
| F | F | F |
Disjunção (OU)
A conjunção é falsa se, e somente se ambos os operandos forem falsos
| A | B | AvB |
| V | V | V |
| V | F | V |
| F | V | V |
| F | F | F |
Condicional (Se... Então) [Implicação]
A conjunção é falsa se, e somente se, o primeiro operando é verdadeiro e o segundo operando é falso
| A | B | A→B |
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | V |
| F | F | V |
Bicondicional (Se e somente se) [Equivalência]
A conjunção é verdadeira se, e somente se, ambos operandos forem falsos ou ambos verdadeiros
| A | B | A↔B |
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | F |
| F | F | V |
Disjunção Exclusiva (Ou... ou XOR)
A conjunção é verdadeira se, e somente se, apenas um dos operandos for verdadeiro
| A | B | A∨B |
| V | V | F |
| V | F | V |
| F | V | V |
| F | F | F |
Adaga de Quine (NOR)
A conjunção é verdadeira se e somente se os operandos são falsos
| A | B | A∨B | A↓B |
| V | V | V | F |
| V | F | V | F |
| F | V | V | F |
| F | F | F | V |
Como usar tabelas para verificar a validade de argumentos
- Verifique se a conclusão nunca é falsa quando as premissas são verdadeiros. Em caso positivo, o argumento é válido. Em caso negativo, é inválido.
Alguns argumentos válidos
- Modus ponens
| A | B | A→B |
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | V |
| F | F | V |
- Modus tollens
| A | B | ¬A | ¬B | A→B |
| V | V | F | F | V |
| V | F | F | V | F |
| F | V | V | F | V |
| F | F | V | V | V |
- Silogismo Hipotético
| A | B | C | A→B | B→C | A→C |
| V | V | V | V | V | V |
| V | V | F | V | F | F |
| V | F | V | F | V | V |
| V | F | F | F | V | F |
| F | V | V | V | V | V |
| F | V | F | V | F | V |
| F | F | V | V | V | V |
| F | F | F | V | V | V |
Algumas falácias
- Afirmação do conseqüente
- Se A, então B. (A→B)
- B.
- Logo, A.
| A | B | A→B |
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | V |
| F | F | V |
- Comutação dos Condicionais
- A implica B. (A→B)
- Logo, B implica A. (B→A)
| A | B | A→B | B→A |
| V | V | V | V |
| V | F | F | V |
| F | V | V | F |
| F | F | V | V |
Como usar tabelas para verificar a equivalência de fórmulas
- (A∧B) ≡ ¬(B→¬A) ≡ ¬(¬A∨¬B) ≡ (¬A↓¬B)
| A | B | ¬A | ¬B | A∧B | B→¬A | ¬(B→¬A) | (¬A↓¬B) |
| V | V | F | F | V | F | V | V |
| V | F | F | V | F | V | F | F |
| F | V | V | F | F | V | F | F |
| F | F | V | V | F | V | F | F |
(A→B) ≡ ¬(¬A∧B) ≡ (¬A∨B) ≡ ¬(¬A↓B)
| A | B | ¬A | ¬B | A→B | A∧¬B | ¬(¬A∧B) | ¬A∨B |
| V | V | F | F | V | F | V | V |
| V | F | F | V | F | V | F | F |
| F | V | V | F | V | F | V | V |
| F | F | V | V | V | F | V | V |
(A∨B) ≡ ¬(¬A∧¬B) ≡ (¬A→B) ≡ ¬(A↓B)
| A | B | ¬A | ¬B | A∨B | ¬A∧¬B | ¬(¬A∧¬B) | ¬A→B |
| V | V | F | F | V | F | V | V |
| V | F | F | V | V | F | V | V |
| F | V | V | F | V | F | V | V |
| F | F | V | V | F | V | F | F |